типовые расчеты по высшей математике. методические указания и задачи для студентов вечернего отделения. Iii семестр

О.И. Судавная, В.М. Фролов, С.В. Фролов Типовые расчеты по высшей математике Методические указания и задачи для студентов вечернего отделения III семестр Санкт-Петербург 2009 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ О.И. Судавная, В.М. Фролов, С.В. Фролов ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Методические указания и задачи для студентов вечернего отделения III семестр Методическое пособие Санкт-Петербург 2009 О.И. Судавная, В.М. Фролов, С.В. Фролов Типовые расчеты по высшей математике. Методические указания и задачи для студентов вечернего отделения. III семестр. – СПб: СПбГУ ИТМО, 2009. – с. Пособие содержит типовые расчеты с методическими указаниями по темам • дифференциальные уравнения первого порядка • дифференциальные уравнения высших порядков • системы дифференциальных уравнений • числовые ряды • степенные ряды • тригонометрические ряды Фурье Пособие адресовано студентам второго курса вечернего отделения СПбГУ ИТМО Рекомендовано к печати Ученым Советом естественнонаучного факультета СПбГУ ИТМО 2009 года, протокол №. В 2007 году СПбГУ ИТМО стал победителем конкурса инновационных образовательных программ вузов России на 2007–2008 годы. Реализация инновационной образовательной программы «Инновационная система подготовки специалистов нового поколения в области информационных и оптических технологий» позволит выйти на качественно новый уровень подготовки выпускников и удовлетворить возрастающий спрос на специалистов в информационной, оптической и других высокотехнологичных отраслях экономики. ©Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, 2009 © О.И. Судавная, В.М. Фролов, С.В. Фролов 2009 Введение Типовые расчеты по математике для студентов второго курса вечернего отделения в третьем семестре содержат 2 типовых расчета по темам • «Дифференциальные уравнения» • «Ряды» Первый типовой расчет включает 26 вариантов по пяти различным разделам, а второй – 26 вариантов по четырем разделам. Перед заданиями помещены методические указания, основные теоретические формулы и разобранные решения наиболее типичных задач. Рекомендуемые пособия: 1. Кузнецова С.Н. и др. Методические указания к решению задач по теме «Дифференциальные уравнения» для студентов вечернего отделения. СПб: СПбГУ ИТМО, 2005. 2. Математический анализ III / Под общей редакцией И.Ю. Попова. Учебное пособие. СПб: СПбГИТМО(ТУ), 2000. 3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1986. Типовой расчет по теме «Дифференциальные уравнения» Методические указания Содержание расчетных заданий I. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши для дифференциальных уравнений первого порядка. II. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка. III. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. IV. Решение систем дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами методом исключения. V. Решение систем дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами матричным методом. 3 Образцы решения задач по теме «Дифференциальные уравнения первого порядка» Задача 1. 1) Определите тип дифференциального уравнения первого порядка x 2 e y y′ = 3 x 4 e y − 6 x 4 + e y − 2 . 2) Найдите общее решение уравнения. 3) Найдите его частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1) = 0. Решение. 1) Разложим на множители правую часть уравнения и запишем 3x 4 + 1 e y − 2 ⋅ y . Поскольку правая часть его в нормальной форме