E-Book Content
Алгебра и логика, 42, N 4 (2003), 497—509
УДК 512.54
О ВЫПУКЛЫХ ПОДГРУППАХ ЧАСТИЧНО ПРАВОУПОРЯДОЧЕННЫХ ГРУПП∗) А. М. ПРОТОПОПОВ
Хорошо известно, что на пространстве правых смежных классов частично упорядоченной группы по выпуклой подгруппе можно ввести частичный порядок, определенный исходным частичным порядком этой группы. Аналогичный порядок вводится и на множестве правых смежных классов правоупорядоченной группы. Мы рассматриваем вопрос о возможности построения такого порядка на пространстве правых смежных классов частично правоупорядоченной группы. Будем использовать в основном обозначения и терминологию из [1]. Пусть {G; ≤} — частично правоупорядоченная группа с полугруппой P (G) положительных элементов, и H — ее подгруппа. Далее через R(G : H) обозначается множество правых смежных классов G по H, через ρ — отношение на R(G : H), заданное по правилу: HxρHy тогда и только тогда, когда h1 x ≤ h2 y для некоторых элементов h1 , h2 из H. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Если отношение ρ является отношением частичного порядка, то H — выпуклая подгруппа. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть g ∈ G, h ∈ H, причем e ≤ g ≤ h, и множество R(G : H) частично упорядочено отношением ρ. Тогда HgρH, HρHg и, так как ρ является отношением частичного порядка, Hg = H, поэтому g ∈ H. ∗)
Работа выполнена при финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ
и государственной поддержке ведущих научных школ, проект НШ-2069.2003.1. c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2003
498
А. М. Протопопов § 1. Условия стандартной выпуклости Будем говорить, что выпуклая подгруппа H частично правоупоря-
доченной группы {G; ≤} является стандартно выпуклой в G, если отношение ρ задает частичный порядок. В противном случае будем говорить, что H — специальная выпуклая подгруппа. Рассмотрим вопрос о свойствах стандартно выпуклых подгрупп частично правоупорядоченных групп. То, что условия о выпукло