<EM>Les Éléments de mathématique de Nicolas BOURBAKI ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.
Ce volume du Livre d’<EM>Algèbre commutative, septième Livre du traité, est la continuation des chapitres antérieurs. Il introduit notamment les notions de profondeur et de lissité, fondamentales en géometrie algébrique. Il se termine par l’introduction des modules dualisants et de la dualité de Grothendieck.
Ce volume est paru en 1998.
Profondeur, régularité, dualité Duris ce chapikre, toru.s lcs arlricuulc sorit s,upposL:s ço~rrmrututifs,les ulykbres sont ussociutiws, corrrrr~1~t1~tiue.s et ,wr~'if&re.s, et les horr~orriorpliisrnesd'alykb,~.e.ssorll uniet KA son corps fh-es. Si A est un, anmeau locd, on, note m . SOT?, idkd m~~,,:~.imal, rksidu,el. Si p est wri id6d p?-err~,ier. d',un anrLeau A , ori note ~ ( p )le corps r h i duel de l'ar~.rcea.ulocal Ap ; on l'ider~tijieau corps des fr,uctlons de l'armeuu
[email protected] A/p . 041 ,riote Z lu pwtie Z U {-CO, +cul de R . 0 1 1 u donc, po,u.r io,u(Ct n t Z , les m h t i o n s -ai < n,="">< +cm="" et="" rt,="" +="" cm="OC^" +="" n,="OC)" +="" cc="cc" ,="" n,-cm="">
PROPOSITION 1 . Soimt -4 un, an,nea~r,.T un, BdCal de A et O une suite exacte de A-modules. Poson,s
p'
= prof
(J : M')
, p = prof (J ;M) , pl'
-
i
h/l' + M
i
Y''
-+ O
prof(.J ;Id")
On es2 alors dans l'un des tr.oi.s c(ts swkiiants, qui s'ezclurnt rnutuel2enrmt
:
Corisi rri - p pour rrr 3 p (11' 1, cor. 1 de la prop. 2), de sorte qu'on peut appliquer le cor. 1. 3. P r o f o n d e u r et complexe de Koszul
-
Soient A un anneau, ILI iin A-modiilr, x = (.r,),,r iiiic fainillc d'4lCmcnts tlc A. A la. forrric: liriéaire telle que u(ci) = .r, pour tout i E T , et Notons u : A(') O K'(x, M) le corrlplexe KA(w, M) associ6 a u (A, X, p. 147). On a KP(x, M) pour p < o="" ;="" polir="" p="" 3="" o="" le="" a-modiilr:="" k"(x,="" m)="Hoin,," (="" a="" p="" (="" ~="" (="" l="" )m)="" )="" ,="" s1i(lentific\="" canoniquemcnt="" ail="" a-modiilc="" cy(h1)="" forrrié="" tlrs="" npplications="" ollrrnéps="" de="" 1''="" dans="" i\ii="" (a,="" x,="" p.="" 153),="" la="" cliffbreritielle="" isp="" :="" kp(x,="" hl)="" ,="" kptl="" (x,="" m)="" cltant="" donn6e="" pdr="" la="">
-
-
(A, X, 11. 154, fornlulc (12)). Il eli pour m t K P ( x ,M) et (a1... . ,cu,>+l) E r&siilteeri parl,icl~licrqiic lc corr~plexcK 0 ( x ,M) ne di:pcritl que tlc la structure de . Z-rriodiilr de M el, des cii O pour tout idéal irlaxiiiial m de A .
P ~ m r o r s ~ ~9r r o. Soier~t ~ A u n ~ I L I X C C L Ur~oethbrien,~ M r t N deux A-,modules de type finé et F le support de N . Alo7:s prof,(l\/l) est la borne mfr'riewe (daris NU(+m}) de l'enserrihle des e,rrt%er.s$11 Lcls p c Ext'i(N; NI) # 0 . D'a.prk la remarque 1, on a ~ x t i ( YILI) , = O pour tout 2 < prof,(m)="" .="" 11="" reste="" à="" proirvcr="" que="" si="" proîf(m)="n">< +oc,="" on="" a.="" ext,h(n,m)="" #="" o="" .="" soit="" j="" l'anniilatciir="" de="" n="" ;="" on="" a="" f="V(J)" ,="" donc="" proff(m)="profA(J" ;="" ni)="" .="" d'après="" lc="" cor.="" 1="" du="" t="" h="" .="" 2="" (no="" 4),="" il="" existe="" iine="" suite="" hl-régulière="" (="" z="" l="" .="" ..="" .="" ,="" 2="" ,="" )="" cic="" loiigiicirr="" 7="" 1="" f~rinbed'élérneiit,~de="" .t,="" et="" la="" profondeur="" rclativcincrit="" j="" du="" a-rriodiile="" n/i="" m/(slm-i.="" .="" .="" t-ni,,m)="" es