E-Book Content
Д. В. Аносов
Дифференциальные уравнения: то решаем, то рисуем
Москва Издательство МЦНМО
УДК .. ББК . А
А
Аносов Д. В. Дифференциальные уравнения: то решаем, то рисуем — М.: МЦНМО, . — с. ISBN ---- В книге рассказывается о дифференциальных уравнениях. В одних случаях автор объясняет, как решаются дифференциальные уравнения, а в других — как геометрические соображения помогают понять свойства их решений. (С этим и связаны слова «то решаем, то рисуем» в названии книги.) Рассмотрено несколько физических примеров. На максимально упрощённом уровне рассказано о некоторых достижениях XX века, включая понимание механизма возникновения «хаоса» в поведении детерминированных объектов. Книга рассчитана на интересующихся математикой школьников старших классов. От них требуется лишь понимание смысла производной как мгновенной скорости. Книга не заменяет вузовские учебники, но так как в ней затрагиваются и не освещаемые в них вопросы, а часть других вопросов освещается иначе, то она может заинтересовать и студентов вузов со значительной математической программой.
ББК .
ISBN ----
© Аносов Д. В., . © МЦНМО, .
Оглавление Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ . Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ . Кинематическая интерпретация дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ . Примеры фазовых портретов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ . Показательная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ . Линейные уравнения с постоянными коэффициентами . . .
§ . Автоколебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § . Теория Пуанкаре–Бендиксона. Грубость и типичность . . . . § . Хаос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Предисловие Мне всегда казалось, что популярная литература по математике страдает одним существенным недостатком. Ориентируясь на читателя, находящегося на уровне хорошего школьника, она его знакомит с разнообразным материалом, вполне доступном на этом уровне, и даёт ему возможность попробовать свои силы на задачах, связанных с таким материалом. Всё это бывает увлекательно (для читателя, не страдающего идиосинкразией к самостоятельной умственной работе вообще и к занятиям математикой в частности). Но... Но б´ ольшая часть этого материала не имеет отношения к тому, чем на самом деле занимаются математики. Сравните это с литературой по физике, рассказывающей как о повседневных проявлениях «физики вокруг нас», так и о самой актуальной научной тематике (атомном ядре, элементарных частицах, полупроводниках, лазерах и прочих чудесах современной электроники, имеющих, в конце концов, квантовую природу), а также с литературой по астрономии (новейшие исследования Солнечной системы, образование и жизнь звёзд и галактик, пульсары и квазары...). Правда, читатель может хорошо разобраться с какими-нибудь свойствами треугольника, не входящими в школьную программу, или с той физикой в повседневной жизни, которой посвящены, например, книги Я. И. Перельмана, но не верится, чтобы он своими силами запустил космическую ракету с рентгеновским телескопом на борту... (Или, не дай бог, построил ядерный реактор.) Так что самые захватывающие физические и астрономические знания поневоле носят более опосредованный характер. Но всё же это знания. Не уверен, что популярная математическая литература может в этом отношении полностью сравняться с литературой по физике или астрономии. Боюсь, что попытка сравнятьс