оценка устойчивости решения в обратной задаче определения коэффициентов при младших производных

Сибирский математический журнал Май—июнь, 2002. Том 43, № 3 УДК 517.958 ОЦЕНКА УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЯ В ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРИ МЛАДШИХ ПРОИЗВОДНЫХ В. Г. Романов Аннотация: Рассматривается задача об определении коэффициентов при первых производных в гиперболическом уравнении второго порядка. В качестве информации задается след решения вместе с его нормальной производной на боковой поверхности цилиндрической области некоторой прямой задачи для исходного уравнения. Импульсный точечный источник расположен вне области, в которой подлежат определению искомые коэффициенты, и является параметром задачи. Предполагается, что число источников, для которых задается след решения, совпадает с числом определяемых коэффициентов. Основной результат работы — оценка устойчивости решения рассматриваемой обратной задачи. Библиогр. 5. § 1. Постановка задачи и основной результат Пусть Ω — компактная область в R3 с кусочно-гладкой границей ∂Ω и σ, b = (b1 , b2 , b3 ) — гладкие функции, носитель которых содержится в Ω. Пусть, далее, функция u = u(x, t), x ∈ R3 , является решением следующей задачи Коши: utt − ∆u + σ(x)ut + b(x) · ∇u = δ(x − y)δ(t), u|t 0. Пусть y (i) , i = 1, 2, 3, 4, — различные точки, лежащие вне Ω и удовлетворяющие некоторому дополнительному условию, о котором будет сказано ниже. Предположим, что следы решения задач (1.1) при y = y (i) известны на S(T, y (i) ) для всех i вместе с их нормальными производными, т. е. заданы функции u(x, t, y (i) ) = fi (x, t), ∂ u(x, t, y (i) ) = gi (x, t), ∂n (x, t) ∈ S(T, y (i) ), i = 1, 2, 3, 4, (1.2) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 02–01–00818) и Министерства образования РФ (проект № 2000.1.73). c 2002 Романов В. Г. Оценка устойчивости решения 703 где n — внешняя нормаль к