комплексный анализ на плоскости и в пространстве

МАТЕМАТИКА КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ Ш. И. ЦЫГАНОВ Башкирский государственный университет, Уфа COMPLEX ANALYSIS ON PLANE AND IN SPACE Sh. I. TSYGANOV The major properties of holomorphous functions on complex plane and in multidimentional complex spaces are described from the geometrical viewpoint. Furthermore, the problem of biholomorphic equivalence of domains is discussed, i.e., the problem of finding such domains between which bijective holomorphic images exist. © Цыганов Ш.И., 2001 Рассмотрены основные свойства голоморфных функций на комплексной плоскости и в многомерных комплексных пространствах с геометрической точки зрения. Кроме того, рассматривается проблема биголоморфной эквивалентности областей, то есть проблема нахождения областей, между которыми существуют биективные голоморфные отображения. Хорошо известно, что любая функция y = f (x): X Y представляет собой отображение, действующее из одного множества Х на другое множество Y. Среди всевозможных отображений выделяют биективные, то есть взаимно однозначные соответствия, при которых каждый элемент y ∈ Y имеет ровно один прообраз x ∈ X. Возникает интересная задача выяснения, для каких наперед заданных множеств X и Y найдется биективное отображение, переводящее одно множество в другое. Эта классическая задача теории множеств допускает разного рода вариации. Например, для отображений, действующих из одного числового множества в другое, возможны требования непрерывности или дифференцируемости функции. Соответственно решаются такие задачи средствами анализа. Так, хорошо известно, что в случае, если Х и Y представляют собой два открытых интервала (α, β) и (γ, δ), лежащих на числовой оси, то найдется линейное и соответственно дифференцируемое биективное отображение f : X Y. Более того, существует дифференцируемое биективное отображение, действующее из интервала (α, β) на всю числовую прямую. Таким образом, одномерный случай достаточно прост. Гораздо более интересной становится ситуация в многомерном случае. В настоящей статье мы ограничимся рассмотрением соответствия областей на комплексной плоскости C и в комплексном пространстве Cn. Напомним, что комплексной плоскостью C называется обитель комплексных чисел, то есть чисел вида z = x + iy, где i = – 1 – мнимая единица, а действительные числа x и y носят название вещественной и мнимой частей комплексного числа z соответственно. При этом число z = x – iy называется сопряженным к z и позволяет записать z+z z–z x = ----------- , y = ----------. 2 2i www.issep.rssi.ru (1) Кроме того, существует тригонометрический способ задания комплексных чисел, который состоит в Ц Ы ГА Н О В Ш . И . К О М П Л Е К С Н Ы Й А Н А Л И З Н А П Л О С К О С Т И И В П Р О С Т РА Н С Т В Е 123 МАТЕМАТИКА том, что комплексное число определяется своими модулем | z |, то есть длиной отрезка, соединяющего z с началом координат, и аргументом ϕ = arg z – углом между этим отрезком и положительным направлением оси Ox. При этом z = | z |(cos ϕ + i sin ϕ). Добавив в комплексную плоскость C одну так называемую бесконечную точку z = ∞, получим замкнутую плоскость, обозначаемую символом C. При этом саму С называют открытой. Определение 1. Областью D на плоскости будем называть множество точек этой плоскости, обладающих следующими свойствами: а) для любой точки a ∈ D найдется круг с центром в этой точке, целиком принадлежащий D ; б) для любых двух точек a, b ∈ D существует кривая с концами в этих точках, целиком л