функциональный анализ: учебное пособие

Содержание Вместо предисловия 4 1. Метрические, нормированные и гильбертовы пространства 1.1. Что такое метрика? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Примеры метрических пространств . . . . . . . . . . . . . 1.3. Mножества в метрических пространствах . . . . . . . . . . 1.4. Сходимость и полнота . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Компактность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Как линейное пространство сделать нормированным? . . 1.7. Скалярные произведения и гильбертовы пространства . . . . . . . . . 5 5 5 6 7 8 9 11 2. Линейные операторы 2.1. Пространство линейных непрерывных операторов . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Обратный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Замкнутые операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 13 15 16 3. Задачи и упражнения 3.1. Пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 17 19 Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 Вместо предисловия Две основные причины побудили меня написать это учебное пособие. Многие годы чтения курса по прикладному функциональному анализу выявили необходимость того, чтобы студенты имели лаконичное пособие, максимально автономное и предназначенное, в первую очередь, для интенсивного практикума. Кроме того, в процессе консультаций с инженерами и физиками, обращавшимися ко мне за советами по поводу трудностей, с которыми они сталкивались при решении возникавших перед ними задач, выяснилось, что инженеру, не являющемуся профессиональным математиком и желающему строго обосновать предлагаемый им способ решения практической задачи, необходимо ознакомиться с современным математическим аппаратом, по крайней мере с основами функционального анализа. Этот раздел математики содержит много новых для нематематика абстрактных понятий, которые нельзя усвоить второпях. Таким образом, возникла идея подготовки учебного пособия, содержащего теоретические сведения по функциональному анализу, которые можно глубже усвоить с помощью упражнений и контрпримеров. Литература по функциональному анализу достаточно обширна, но представлена она, в основном, ”толстыми” книгами известных авторов, изданными давно, и практически отсутствующими в библиотеках вузов. Данное пособие призвано восполнить указанный пробел. Оно является первой частью серии пособий по прикладному функциональному анализу, над которой работает автор. В дальнейшем предполагается рассмотреть теорию линейных функционалов и ее приложения, теорию линейных и нелинейных операторных уравнений, экстремальные задачи в гильбертовых пространствах и приложения функционального анализа к задачам оптимального управления. Александр Чеботарев Владивосток, 2000 4 1. Метрические, нормированные и гильбертовы пространства 1.1. Что такое метрика? Определение 1. Если каждой паре элементов x, y некоторого множества X поставлено в соответствие число ρ(x, y) ∈ R, называемое расстоянием между элементами x и y так, что 1. ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y; 2. ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(y, z) ∀x, y, z ∈ X, то множество X называется метрическим пространством с метрикой ρ(x, y