анализ периодических компонент интенсивности точечных процессов: учебное пособие для старших курсов геофизического факультета

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГЕОЛОГОРАЗВЕДОЧНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ СЕРГО ОРЖОНИКИДЗЕ КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ А.А. Любушин АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОМПОНЕНТ ИНТЕНСИВНОСТИ ТОЧЕЧНЫХ ПРОЦЕССОВ. УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТАРШИХ КУРСОВ ГЕОФИЗИЧЕСКОГО ФАКУЛЬТЕТА МОСКВА 2006 2 Введение. В пособии приводится основные сведения по теории точечных процессов и рассматривается один метод обнаружения периодических компонент в интенсивности потока событий. Метод реализован программно и может быть использован как в учебных, так и в исследовательских целях. Приведены примеры анализа реальных геофизических данных. Всюду ниже будут использоваться обозначения: Pr {...} - вероятность события, условие которого записано в фигурных скобках, M {ξ } = ∫ xϕξ ( x)dx - математическое ожидание или среднее значение случайной величины ξ , где ϕξ ( x) - плотность вероятности распределения случайной величины ξ , D{ξ } = M {(ξ − M {ξ }) 2 } - дисперсия случайной величины, которая также может быть записана в виде D{ξ } = M {ξ 2 } − ( M {ξ }) 2 . Про случайную величину ξ будем говорить, что она распределена по нормальному закону с параметрами a и σ 2 и записывать это как ξ ∼ (a, σ 2 ) , если плотность вероятности случайной величины ξ равна ϕξ ( x) = 1 exp(−( x − a) 2 / 2σ 2 ) . Известно, что в этом случае σ 2π M {ξ } = a , D{ξ } = σ 2 . Вообще, знак «∼» означает «распределено как». 1. Точечным процессом называется последовательность случайных моментов времени t j , j ∈ Z . Ее считающей функцией называется величина: ⎧1, t ≥ 0 N (t ) = ∑ r (t − t j ), r (t ) = ⎨ t j 0 (условие стационарности), удовлетворяющий условиям (2) и (3) и для которого вероятность возникновения события на будущем интервале времени любой длины (τ ,τ + h] не зависит от того, сколько и в какие моменты времени событий произошло в прошлом, до момента времени τ (отсутствие последействия или памяти о прошлых событиях). Из условий стационарности и независимости возникновения событий следует, что любой момент времени наблюдения пуассоновского процесса можно считать начальным или нулевым. Выведем форуму для вероятности того, что на интервале времени (0, t ] произойдет ровно k событий, то есть для величины Pk (t ) = Pr {N (t ) = k | k > 0} при условии, что N (0) = 0 . Вероятность Pk (t + ε ) того, что на интервале времени (0, t + ε ] произошло ровно k ≥ 1 событий состоит из суммы 2-х вероятностей: того что на интервале (0, t ] произошло k событий, а на интервале (t , t + ε ] − ни одного и вероятности того, что на интервале (0, t ] произошло k − 1 событие, а на интервале (t , t + ε ] − одно. При ε → 0 всеми прочими вариантами можно пренебречь в силу условия ординарности (3). В силу независимости событий, стационарности процесса и из условия (2) получаем Pk (t + ε ) = Pr {N (t ) = k} ⋅ Pr {N (t + ε ) − N (t ) = 0} + + Pr {N (t ) = k − 1} ⋅ Pr {N (t + ε ) − N (t ) = 1} = = Pk (t ) ⋅ (1 − με + o(ε )) + Pk −1 (t ) ⋅ ( με + o(ε )) (4) откуда следует дифференциальное уравнение для Pk (t ) : dPk (t ) = − μ ⋅ ( Pk (t ) − Pk −1 (t )), Pk (0) = 0, k ≥ 1 dt (5) 4 Что же касается вероятности P0 (t ) = Pr {N (t ) = 0} , то для нее P0 (t + ε ) = Pr {N (t ) = 0} ⋅ Pr {N (t + ε ) − N (t ) = 0} = P0 (t ) ⋅ (1 − με + o(ε )) (6) откуда сразу следует, что dP0 (t )