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S´eminaire BOURBAKI 53`eme ann´ee, 2000-2001, no 888 Mars 2001 ´ ´ ´ QUANTIFICATION GEOM ETRIQUE ET REDUCTION SYMPLECTIQUE par Mich` ele VERGNE INTRODUCTION Soit M une vari´et´e diff´erentiable munie d’une 2-forme symplectique Ω. On se donne de plus un fibr´e en droites complexes L (appel´e fibr´e de Kostant-Souriau) muni d’une connexion ∇ dont la courbure est −iΩ. On dira que M est une vari´et´e symplectique pr´equantifi´ee, et on sous-entendra souvent le fibr´e L (dont la premi`ere classe de Chern est fix´ee). Par exemple, si M est l’espace projectif, le fibr´e L est le fibr´e O(1). Peut-on construire canoniquement un espace de Hilbert Q(M ) associ´e `a la vari´et´e pr´equantifi´ee M ? De plus, si φ est une fonction r´eelle sur M , peut-on lui associer un op´erateur autoadjoint Q(φ) op´erant sur Q(M ) tel que toute valeur λ du spectre de l’op´erateur Q(φ) appartienne `a l’intervalle φ(M ) ⊂ R ? Notons G le flot hamiltonien engendr´e par φ et notons redλ (M ) l’espace des orbites de G dans l’hypersurface φ = λ. φ−1(λ) φ λ Espace r´eduit: φ−1 (λ)/S 1 = • 888-02 C’est (dans les bons cas) une vari´et´e symplectique de dimension dim M − 2, appel´ee l’espace r´eduit de M au niveau λ. Si φ est propre, les espaces r´eduits sont compacts. On d´esire alors que le spectre de Q(φ) soit un sous-ensemble discret de φ(M ) et que les multiplicit´es de toute valeur propre λ soient finies et en rapport ´etroit avec le volume symplectique de la fibre r´eduite en λ. Des proc´ed´es pour construire Q(M ) et Q(φ) n’existent que sous certaines conditions. Mais certains cas sont bien cern´es, notamment celui des vari´et´es symplectiques compactes. On sait alors associer `a une vari´et´e symplectique compacte pr´equantifi´ee M un espace vectoriel canonique Q(M ). Si φ engendre un flot hamiltonien circulaire G = {eit , 0 ≤ t ≤ 2π}, ce flot G op`ere sur Q(M ) e