Çàäà÷è ïî îñíîâàì òåîðèè ðèñêà À.À.Íîâîñåëîâ∗ Äëÿ ñòóäåíòîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÊÃÓ Àííîòàöèÿ Ïðèâåäåíû çàäà÷è èç ðàçëè÷íûõ îòðàñëåé ìàòåìàòèêè, êîòîðûå ñîñòàâëÿþò áàçó äëÿ òåîðèè ðèñêà. Ýòîò çàäà÷íûé ìèíèìóì íåîáõîäèìî ðåøèòü âñåì ñòóäåíòàì, æåëàþùèì ñïåöèàëèçèðîâàòüñÿ â äàííîé îáëàñòè. 1 Çàäà÷è Çàäà÷à 1 Ïóñòü êîìïîíåíòû ñëó÷àéíîãî âåêòîðà (X, Y ) èìåþò ñëåäóþùèå (áåðíóëëèåâñêèå) ìàðãèíàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ: P(X = 1) = 1 − p, P(X = 3) = p, P(Y = 1) = 1 − q, P(Y = 2) = q, ãäå p, q ∈ [0, 1] ïàðàìåòðû ðàñïðåäåëåíèé. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Z = XY â ñëó÷àÿõ, êîãäà: a) êîìïîíåíòû X, Y íåçàâèñèìû; b) êîìïîíåíòû X, Y çàâèñèìû. Åñëè X è Y íåçàâèñèìû, òî ÷òî ìîæíî ñêàçàòü î çàâèñèìîñòè (íåçàâèñèìîñòè) X è Z ? Y è Z ? Âîçìîæíà ëè ñèòóàöèÿ, ïðè êîòîðîé X è Y çàâèñèìû, à X è Z íåçàâèñèìû? Çàäà÷à 2 Ðåøèòü çàäà÷ó, àíàëîãè÷íóþ çàäà÷å 1, äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Z = Y /X. Çàäà÷à 3 Ðåøèòü çàäà÷ó, àíàëîãè÷íóþ çàäà÷àì 1, 2, äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ìàðãèíàëü- íûå ðàñïðåäåëåíèÿ X è Y ðàâíîìåðíû íà [0, 1]. Êðîìå òîãî, ïðèâåñòè ïðèìåð ñîâìåñòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (X, Y ) ñ ðàâíîìåðíûìè ìàðãèíàëüíûìè, ïðè êîòîðîì ðàñïðåäåëåíèå Z = XY òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíûì íà [0, 1], èëè äîêàçàòü, ÷òî òàêîå ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå íå ñóùåñòâóåò. Çàäà÷à 4 Ïóñòü X, Y èìåþò äèñêðåòíûå ðàñïðåäåëåíèÿ P{X = 0} = P{X = 1} = P{X = 2} = 1/3. P{Y = 0} = P{Y = 1} = 1/2, Ïîñòðîèòü ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå (X, Y ) òàê, ÷òîáû îíî èìåëî çàäàííûå ìàðãèíàëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ, è X, Y áûëè êîìîíîòîííûìè (ñì. îïðåäåëåíèå 1). ∗ Èíñòèòóò âû÷èñëèòåëüíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ÑÎ ÐÀÍ, 660036, Êðàñíîÿðñê, Àêàäåìãîðîäîê, email:
[email protected], ò. (3912) 495382 1 2 À.À. Íîâîñåëîâ Çàäà÷à 5 Äàòü îïðåäåëåíèå àíòèê