Федеральное агентство по образованию Федеральная заочная физико-техническая школа при Московском физико – техническом институте (государственном университете) МАТЕМАТИКА Системы уравнений Задание №3 для 8-х классов (2008-2009 учебный год) г. Долгопрудный, 2008 2008-2009 уч. год. № 3, 8 кл. Математика. Системы уравнений Составитель: Т.Х. Яковлева, старший преподаватель кафедры высшей математики МФТИ. Математика: задание №3 для 8-х классов (2008-2009 учебный год). - М.: МФТИ, 2008, 16с. Составитель: Яковлева Тамара Харитоновна Изд. лиц. №040060 от 21.08.96г. Подписано18.11.08 Формат 60х90 1/16. Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0 Уч.-изд. л. 0,88. Тираж 1700. Заказ №8-з. Федеральная заочная физико-техническая школа Московский физико-технический институт (государственный университет) «ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ» 141700, Москов. обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9 ЗФТШ при МФТИ, тел/факс (095) 408-5145 – заочное отделение тел./факс (095) 485-4227 – очно-заочное отделение тел.409-9583 – очное отделение E.mail:
[email protected] Наш сайт: www.school.mipt.ru © ФЗФТШ при МФТИ, 2008 © 2008, ФЗФТШ при МФТИ. Яковлева Тамара Харитоновна. 2 2008-2009 уч. год. № 3, 8 кл. Математика. Системы уравнений § 1. Линейные уравнения с двумя переменными В первом задании мы рассмотрели линейные уравнения с одной переменной. Например, уравнения 2 x + 5 = 0, 3x + ( 8 x − 1) + 9 = 0 являются линейными уравнениями с переменной x. Уравнение, содержащее переменные x и y, называется уравнением с двумя переменными. Например, уравнения 2 x − 3 y = 5, x 2 + xy − y 2 = 7 являются уравнениями с двумя переменными. Уравнение вида ax + by = c называется линейным уравнением с двумя переменными, где x и y − переменные, a, b, c − некоторые числа. Например, уравнения 2 x + y = 3, x − y = 0 являются линейными уравнениями с двумя переменными. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство. Например x = 3, y = 4 является решением уравнения 2 x + 3 y = 18, будем эту пару чисел записывать так ( 3; 4 ) . Очевидно, что пара чисел ( 4;3) не является решением уравнения, т. к. 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 3 = 17 ≠ 18. При нахождении решений с двумя переменными на первом месте в паре чисел пишем значение для переменной x, а на втором месте – значение переменной y. Если каждое решение одного уравнения является решением второго уравнения и обратно, то данные уравнения называются равносильными. Например, решения уравнений 2 x + y = 3 и 4 x + 2 y = 6 совпадают, следовательно, эти уравнения равносильные. Справедливы следующие правила при решении уравнений с двумя переменными: 1) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному; 2) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному. Пример 1. Укажите три различных решения для уравнения 3x + y − 2 = 0. ∆ Если x = 0, то y = 2; если y = 0, то x = © 2008, ФЗФТШ при МФТИ. Яковлева Тамара Харитоновна. 2 ; если x = 1, то y = −1. 3 3 2008-2009 уч. год. № 3, 8 кл. Математика. Системы уравнений ⎛2 ⎝3 ⎞ ⎠ Таким образом, пары чисел ( 0; 2 ) , ⎜ ;0 ⎟ , (1; −1) являются решениями данного уравнения. Заметим, что данное уравнение имеет бесконечно много решений. Для заданного значения x значение y = 2 − 3 x, т. е. любая пара чисел ( x; 2 − 3x ) , где x − любое число, является решением уравнения. ▲ Рассмотрим координатную плоскость Oxy и отметим на ней все точки ( x; y ) , для которых пара чисел x и y является решениями уравнения. Напр