аттракторы дифференциальных включений для моделей динамики атмосферы и океана, содержащих многозначные функции

545 УДК 517.95 Дата поступления: 20.06.2013 Аттракторы дифференциальных включений для моделей динамики атмосферы и океана, содержащих многозначные функции © Авторы, 2013 В. М. Ипатова – к.ф.-м.н., доцент, кафедра высшей математики, Московский физико-технический институт Дано краткое введение в теорию аттракторов многозначных полупотоков. Рассмотрены автономные дифференциальные включения для квазигеострофических моделей общей циркуляции атмосферы и океана с многозначной правой частью. Доказано, что эти дифференциальные включения имеют компактные инвариантные глобальные аттракторы. Ключевые слова: аттрактор, дифференциальное включение, многозначное отображение, модель общей циркуляции атмосферы и океана, уравнение в частных производных. The paper provides a brief introduction to the theory of attractors of multivalued semiflows. We consider the autonomous differential inclusions for the quasi-geostrophic models of general circulation of the atmosphere and the ocean with a multivalued right-hand side. It is proved that these differential inclusions have compact invariant global attractors. Keywords: attractor, differential inclusion, multivalued mapping, model of general circulation of the atmosphere and ocean, partial differential equation. ВВЕДЕНИЕ Как известно, математические модели могут лишь приближенно описывать природные процессы, поэтому они изначально содержат элементы неопределенности. Аппарат дифференциальных включений обобщает понятие дифференциального уравнения на случай неточно заданной динамики системы и неполной информации о ней. В отличие от стохастических дифференциальных уравнений, дифференциальные включения не требуют задания вероятностных характеристик модели, что позволяет избежать априорных предположений о них. Дифференциальные включения активно используются при решении задач оптимального управления и дифференциальных игр в физике, экономике, демографии и других областях [1–4]. В настоящее время большой интерес вызывают подходы, связанные с построением дифференциальных включений для сложных нелинейных моделей геофизической гидродинамики [5, 6]. Сравнительно новым направлением исследований является теория аттракторов многозначных динамических систем. В настоящей работе изучается вопрос о существовании аттракторов дифференциальных включений для модели общей циркуляции атмосферы, представляющей собой уравнение баротропного вихря на вращающейся сфере, и для многослойной квазигеострофической модели общей циркуляции океана. МНОГОЗНАЧНЫЕ ПОЛУПОТОКИ И ИХ ГЛОБАЛЬНЫЕ АТТРАКТОРЫ Вначале дадим краткое введение в теорию многозначных полупотоков и их аттракторов, необходимое для целей настоящей работы. Полное изложение теории в топологических пространствах можно найти в [7]. Пусть = [0, ) ; X – полное метрическое пространство с метрикой ( , ) ; ( X ) – множество всех непустых подмножеств X ; X A Для любых A, B ( X ) положим ( X ) | A ограничено в X ; X A dist A, B dist X A, B sup inf x, y y B x A ( X ) | A компактно в X . – уклонение множества A от множества B ; O A x X | dist x, A – -окрестность множества A ; cl X A – замыкание множества A в пространстве X . Графиком многозначного отображения F:X (X ) называется ( x, y) X X | y F ( x) .