E-Book Overview
Красноярск: ИЦ Ин-та естеств. и гуманит. наук СФУ, 2007. - 34 с. Методическая разработка для студентов физического факультета.
Содержание.Линейные операторы и матрицы.Геометрические примеры линейных операторов.Арифметические примеры линейных операторов.Алгебраические примеры линейных операторов.Замена базиса. Арифметические примеры.Замена базиса. Геометрические примеры.Собственные значения и собственные векторы.Линейные операторы в евклидовых пространствах.Самосопряженные операторы.Ортогональные операторы.Полярное разложение.Теоретические задачи.
E-Book Content
À.Í. ÎÑÒÛËÎÂÑÊÈÉ ËÈÍÅÉÍÛÅ ÎÏÐÅÐÀÒÎÐÛ: ÏÐÈÌÅÐÛ È ÇÀÄÀ×È ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÒÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ ÔÃÎÓ ÂÏÎ "Ñèáèðñêèé ôåäåðàëüíûé óíèâåðñèòåò" Èíñòèòóò åñòåñòâåííûõ è ãóìàíèòàðíûõ íàóê À.Í. ÎÑÒÛËÎÂÑÊÈÉ ËÈÍÅÉÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ: ÏÐÈÌÅÐÛ È ÇÀÄÀ×È Ìåòîäè÷åñêàÿ ðàçðàáîòêà Êðàñíîÿðñê 2007 ÓÄÊ 512.87 ÁÁÊ 22.151.51 O-795 Ðåöåíçåíòû: ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô. Î.Â. Êàïöîâ êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîö. Ì.È. Ãîëîâàíîâ Î-795 Ëèíåéíûå îïåðàòîðû: ïðèìåðû è çàäà÷è: ìåòîäè÷åñêàÿ ðàçðàáîòêà/À.Í. Îñòûëîâñêèé: ÈÖ Èí-òà åñòåñòâ. è ãóìàíèò. íàóê ÑÔÓ, Êðàñíîÿðñê, 2007. - 34 ñ. Ìåòîäè÷åñêàÿ ðàçðàáîòêà ïðåäíàçíà÷åíà äëÿ ñòóäåíòîâ ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà. Ðåêîìåíäóåòñÿ ÷èòàòü [1 5]. 1 Ëèíåéíûå îïåðàòîðû è ìàòðèöû 1.1 Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèìåðû ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ Ïðèìåð. Îáîçíà÷èì ÷åðåç E ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ñâîáîäíûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ. Ïóñòü a ôèêñèðîâàííûé, à x ïðîèçâîëüíûé âåêòîðû èç E . Ðàññìîòðèì îïåðàòîð íà E îïåðàòîð A(x) = (x, a) a . |a|2 (1) Ïðîâåðèì ëèíåéíîñòü îïåðàòîðà A, íàéäåì åãî ÿäðî è îáðàç, âûÿñíèì ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë îïåðàòîðà. Èñïîëüçóÿ àëãåáðàè÷åñêèå ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ è ñâîéñòâà ëèíåéíûõ îïåðàöèé íàä âåêòîðàìè, ïîëó÷èì A(x + y) = (x + y, a) a a = ((x, a) + (y, a)) 2 = 2 |a| |a| a a + (y, a) = A(x) + A(y); |a|2 |a|2 a a A(αx) = (αx, a) 2 = α(x, a) 2 = αA(x). |a| |a| Òàêèì îáðàçîì, îïåðàòîð A ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì. Íàéäåì ÿäðî KerA îïåðàòîðà A. Òàê êàê a 6= 0, òî = (x, a) A(x) = 0 ⇐⇒ (x, a) = 0 ⇐⇒ x ⊥ a. Èíûìè ñëîâàìè, KerA ñîñòîèò èç âñåõ âåêòîðîâ, ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ê âåêòîðó a: KerA = {x ∈ E | x ⊥ a}. Èç ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé dim KerA = 2. Íàéäåì ImA. Âåêòîð A(x) êîëëèíåàðåí âåêòîðó a ñ êîýôôèöèåíòîì ïðîïîðöèîíàëüíîñòè α = (x, a)/|a|2 . Òîãäà ImA = A(E) = {αa | α ∈ R} 2 åñòü ìíîæåñòâî âåêòîðîâ, êîëèíåàðíûõ âåêòîðó a. Î÷åâèäíî, dim ImA = 1. Èç ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé (ïîñòðîéòå ÷åðòåæ è ïðîâåðüòå!) ñëåäóåò, ÷òî A åñòü îðòîãîíàëüíîå ïðîåêòèðîâàíèå íà ïðÿìóþ r = ta.  çàäà÷àõ 1.1 1.5 x ïðîèçâîëüíûé, n, a ôèêñèðîâàííûå íåíóëåâûå âåêòîðà èç E . Òðåáóåòñÿ: à) ïðîâåðèòü ëèíåéíîñòü îïåðàòîðà á) íàéòè â) âûÿñíèòü ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë îïåðàòîðà á) íàéòè KerA, imA A; è îïðåäåëèòü èõ ðàçìåðíîñòü ; A åñëè: (x, n) a, ((a, n) 6= 0); 1) A(x) = (a, n) n 2) A(x) = x − (x, n) 2 ; |n| (x, n) 3) A(x) = x − a, ((a, n) 6= 0); (a, n) n 4) A(x) = x − 2(x, n) 2 ; |n| a 5) A(x) = 2(a, x) 2 − x. |a|  çàäà÷àõ 6 12 r, x ïðîèçâîëüíûå, n, a ôèêñèðîâàííûå íåíóëåâûå âåêòîðà èç E . Òðåáóåòñÿ: à) âûðàçèòü ôîðìóëîé îáðàç âåêòîðà x; åñòü KerA, dimA è îïðåäåëèòü èõ ðàçìåðíîñòü åñëè A : 6) îðòîãîíàëüíîå ïðîåêòèðîâàíèå íà ïðÿìóþ [r, a] = 0; 7) ïðîåêòèðîâàíèå íà ïëîñêîñòü (r, n) = 0 ïàðàëëåëüíî âåêòîðó a ((a, n) 6= 0); 8. Îðòîãîíàëüíîå ïðîåêòèðîâàíèå íà ïëîñêîñòü (r, n) = 0; 9) ïðîåêòèðîâàíèå íà ïðÿìóþ [r, a] = 0 ïàðàëëåëüíî ïëîñêîñòè (r, n) = 0 ((a, n) 6= 0); 10) îðòîãîíàëüíîå îòðàæåíèå â ïëîñêîñòè (r, n) = 0; 11) îðòîãîíàëüíîå îòðàæåíèå â ïðÿìîé [r, a]