сборник научных работ студентов высших учебных заведений республики беларусь нирс-2008

Физика Математика 29 © БГУ СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В БЕСКОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ М. М. ВАСЬКОВСКИЙ The theorem of the existence of solutions for stochastic differential functional equations with Borel measurable coefficients in infinite dimensional spaces is proved Ключевые слова: стохастическое дифференциально-функциональное уравнение, стохастическое эволюционное уравнение, слабое решение, β -мартингальное решение, измеримая по Борелю функция 1. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Рассмотрим стохастическое дифференциально-функциональное уравнение dX (t ) = f ( t , X (t ), X t ) dt + g ( t , X (t ), X t ) dW (t ) , X ∈ R d , с измеримыми по Борелю (1) f : R+ × R d × C ([− h,0], R d ) → R d , функциями g : R+ × R d × C ([− h,0], R d ) → R d ×d ; W (t ) – d-мерное броуновское движение, X t = { X (t + τ ) −h ≤ τ ≤ 0} ∈ ∈ C ([− h,0], R d ) , C ([− h,0], R d ) – пространство непрерывных функций ϕ :[− h,0] → R d с нормой ϕ (⋅) C = max ϕ (t ) Rd − h≤t ≤ 0 . Матрица σ (t , X ,ϕ ) = g (t , X ,ϕ ) g T (t , X ,ϕ ) является симметрической неотрицательной. Существуют измеримые по Борелю ортогональная матрица T и диагональная матрица Λ = diag {λ1 , λ2 ,… , λd } такие, что σ = T ΛT T . Пусть g * = Tdiag { } λ1 ,… λd . В дальнейшем будем считать, что в системе (1) g = g * [1, с. 97-98]. Выберем строки матрицы g с номерами α1 ,…,α l . Построим множество ( H (α1 ,…,α l ) = {(t , xα1 ,…, xαl ) | для любой открытой окрестности U t , xα1 ,… , xαl существует a > 0 , что интеграл sup ∫ ( U t , xα1 ,…, xαl ) ( xαl +1 ,…, xαd ,ϕ )∈D (0, a ) ( det σ α1 ,…,α l ) (t , x1 ,… , xd ,ϕ ) точки (t , xα1 ,…, xαl ) ) −1 dtdxα1 … dxαl либо ⎛ gα1 ⎞ ⎜ ⎟ не определён, либо равен ∞} , где σ α1 ,…,αl (t , x1 ,…, xd ,ϕ ) = ⎜ … ⎟ gαT1 … gαTl , gα j – строка с номером ⎜ gα ⎟ ⎝ l⎠ ( { ) α j матрицы g , D(0, a ) = ( xα ,…, xα ,ϕ ) xα ,…, xα ∈ R,ϕ ∈ C ([− h,0], R d ), xα2 + … + xα2 + ϕ l +1 l +1 d l +1 d d C } ≤a . Будем говорить, что вещественная функция h(t , x1 ,… , xd ,ϕ ), t ∈ R+ , x1 ,…, xd ∈ R, ϕ ∈ C ([− h,0], R d ), удовлетворяет условию А, если существуют строки gα1 ,… , gαl матрицы g такие, что функция h при каждых фиксированных (t , xα1 ,… , xαl ) непрерывна по переменным {( t, x ,…, x ,ϕ ) (t, x 1 α1 d } ,… , xαl ) ∈ H (α1 ,… ,α l ) (x α l +1 ,… , xα d ,ϕ ) и множество содержится во множестве точек непрерывности отобра- жения h . Функция h : R+ × R d × C ([− h,0], R d ) → R d ×r называется локально ограниченной, если для любого b>0 существует постоянная N (b) > 0 такая, t ∈ [0, b], X ∈ R ,ϕ ∈ C ([− h,0], R ) таких, что X ≤ b, ϕ d Построим ⎧⎪ gn = Tdiag ⎨ ⎩⎪ d матрицы σ n = T Λ nT T , C что h(t , X ,ϕ ) ≤ N (b) для любых ≤b. ⎧⎛ ⎫ 1⎞ 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ Λ n = diag ⎨⎜ λ1 + ⎟ ∧ n, ⎜ λ2 + ⎟ ∧ n,… , ⎜ λd + ⎟ ∧ n ⎬ , n⎠ n⎠ n⎠ ⎝ ⎝ ⎩⎝ ⎭ где 1⎞ 1 ⎞ ⎫⎪ ⎛ ⎛ i i i ⎜ λ1 + ⎟ ∧ n,…, ⎜ λd +