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Lectures on Mechanics Second Edition Jerrold E. Marsden March 24, 1997 Contents Preface iv 1 Introduction 1.1 The Classical Water Molecule and the Ozone Molecule 1.2 Lagrangian and Hamiltonian Formulation . . . . . . . 1.3 The Rigid Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Geometry, Symmetry and Reduction . . . . . . . . . . 1.5 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Geometric Phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 The Rotation Group and the Poincar´e Sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 3 4 11 13 17 23 2 A Crash Course in Geometric Mechanics 2.1 Symplectic and Poisson Manifolds . . . . . 2.2 The Flow of a Hamiltonian Vector Field . . 2.3 Cotangent Bundles . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Lagrangian Mechanics . . . . . . . . . . . . 2.5 Lie-Poisson Structures and the Rigid Body 2.6 The Euler-Poincar´e Equations . . . . . . . . 2.7 Momentum Maps . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Symplectic and Poisson Reduction . . . . . 2.9 Singularities and Symmetry . . . . . . . . . 2.10 A Particle in a Magnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 26 28 28 29 30 33 35 37 40 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 44 47 50 55 59 65 70 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .